数学

数学基础

真命题和假命题

与我们日常的交流形式相比，数学使用的是一种非常精确的语言

一个命题是一种要么为真要么为假的有意义的语言结构，对于一件事判断的命题是简单命题，由两个或多个简单命题以一定的形式联结在一起就构成了复合命题，有“且”和“或”两种联结词

对于命题“a 且 b”来说，只有当 a 和 b 都为真命题时，“a 且 b”才是真命题，对于命题“a 或 b”来说，当 a 或 b 其中一个为真命题时，“a 或 b”才是真命题

针对某个对象“是否存在”作出判断的命题叫做存在命题，这类命题通常由“有”、“一些”、“至少有”等短语，这些词叫做存在量词，用符号”∃“表示（exist）。只要有某个成员符合判断就是真命题

对某个集体的所有对象进行判断的命题叫做全称命题，这类命题通常由“所有“、任何”、一切“等短语，这些词叫做全程量词，用倒写的“∀”表示（all）。每个成员都必须符合判断才是真命题

根据全称量词命题和存在量词的定义，可得全称量词命题的否定一般是存在量词命题，反过来存在量词命题的否定一般是全称量词命题

命题是作出判断的语句，命题的判断必须清晰明确，不存在模棱两可。对于一个命题 p，对于它的判断进行否定，就得到了该命题的否定。如果把 p 叫做原命题，则否定得到的命题叫做它的非命题，用“┐p”表示，符号“┐”读作“非”。一个命题的否定的否定，会得到原命题，即“┐(┐p) = p”，这和语言中的双重否定表肯定道理相同

类型	定义	示例
原命题	选取某个命题	若 p，则 q
非命题	原命题的否定	若 p，则非 q
逆命题	调换条件和结论	若 q，则 p
否命题	否定条件和结论	若非 q，则非 p
逆否命题	调换条件和结论，并否定	若非 p，则非 q

以上命题形式具有以下规律：

原命题和非命题只有一个是真命题
原命题和逆否命题真假性一致
原命题和逆命题真假性没有必然联系，原命题和否命题也是

非命题和否命题

非命题是对命题做出的判断进行否定，否命题是对条件和结论进行否定

推论

命题 a 成立，能推出命题 b 成立，则称 a 是 b 的充分条件，b 是 a 的必要条件，记作“a=>p”。如果命题 a，b 既满足 a 推出 b，也满足 b 推出 a，则 a 是 b 的充分必要条件，b 也是 a 的充分必要条件，记作“a<=>b”，互为充分必要条件的命题叫做等价命题

如果命题 a，b，c 满足 a=>b，b=>c，则满足关系 a=>c，这个过程叫做推演，这种逐步从一个命题推出新的命题的推演过程，是解决考试题目和现实技术问题的最主要方法

朴素集合论

研究问题前，首先要确定研究的对象，把研究对象叫做元素，一些元素构成的总体叫做集合，元素可以是任意对象，集合本身也可以作为元素。有限个元素的是有限集，无限个元素的是无限集，没有任何元素是空集，用“∅”表示

集合特性：

确定性 - 集合中的元素必须是确定的，对于集合和元素关系，只有元素”属于“和”不属于“集合的两种情况，用 $\in$ 和 $\notin$ 分别表示
互异性 - 集合中的元素必须是不同的
无序性 - 元素的排列是无序的

数学中常见的集合有：

N 自然数集（Nature number）
Z 整数集（Whole number）
Q 有理数集（Quotient number）
R 实数集（Real number）

此外，正负在相应字母右下角使用“+”或“-”表示，其中（Z₊, N₊,N*）都表示正整数

使用大写字母只能抽象的表示集合，可以使用列举法、描述法

列举法 - 比较直观的将集合中的元素列举出来，比如光的三原色可以用{红，绿，蓝}来表示
描述法 - 用语句或数学公式描述，形式为{代表元素|满足的性质}。比如小于 5 的实数{x|小于 5 的实数} 或 {x| x < 5, x ∈ R}，由于最大的数集是实数 R，所以x ∈ R可以省略不写
图示法 - 使用数轴表示

还有一种更简便的方法用来表示连续的实数集，先写出该实数集的最小值和最大值并用“，”隔开，然后用括号括起来，如果两端包括最大和最小值就用[]，这叫做闭区间。如果不包括最大和最小值就用()，这叫开区间。当然有些情况可能是半开半闭区间，精确的会叫左开右闭区区间或左闭右开区间，比如： $-3<x\leq5$ 可用下面的方式表示

描述法 - { $x|-3<x\leq5$ }
区间 - (-3, 5]

有时候会出现一端是无穷的情况，比如x > 3，通常使用+∞表示正无穷，-∞表示负无穷，整个实数 R 就是(+∞, -∞)，因此可以(3, +∞)来表示

集合之间的关系由其所含有的元素决定，如果集合 A 中的元素都属于集合 B，则称集合 A 包含于集合 B，记作 A ⊆ B，A 叫做 B 的子集。如果 A 中的元素都属于集合 B，但集合 B 中存在的元素不属于 A，则称集合 A 真包含于集合 B，记作 A ⫋ B，A 叫做 B 的真子集。A ⊆ B 有两种情况：A ⫋ B 或 A = B

根据包含和真包含的定义可得：∅ 包含任何集合，同时真包含任何非空集合

也很容易得出：若 A ⊆ B 且 B ⊆ C，则 A ⊆ C

常用数集的关系

N ⊆ Z ⊆ Q ⊆ R

在大部分情况下都使用韦恩图来表示抽象的集合

子集个数

对于一个由 n 个元素的集合，它的子集总共有 2_n个（包括 ∅ 和集合自身）

集合和命题有非常紧密的联系

集合之间可以进行运算，它们不是数字运算，而是逻辑运算，最终的结果依然是新的集合，主要有：

交集：由既属于集合 A 又属于集合 B 的公共元素组成的集合，记作 $A \cap B$
并集：由属于集合 A 或属于集合 B 的所有元素组成的集合，记作 $A \cup B$
差集：包含集合 A 中不属于集合 B 的所有元素组成的集合
补集：如果集合 A 是全集 U 的子集，由 U 中不属于 A 的所有元素组成的集合
笛卡尔积：由所有可能的有序数对组成的集合，记作 $A \times B$

全集

在研究集合时，通常会划分一个最大的范围，这个最大范围包含所有可能涉及到的元素，叫做全集，常用大写字母 U 表示

在两个非空集合 A 和 B 中，如果存在某种对应关系，使 A 中的每个元素，都能对应到 B 中的每个元素，这种对应关系就叫映射，这种对应关系一般用小写的 f 表示。A 中的元素 a₁ 在映射关系 f 的作用下所对应 B 中的元素 b₁，则称 b₁ 是 a₁ 的像，a₁ 是 b₁ 的原像，记作f(a₁)=b₁。在映射 A->B 的关系中，A 中的每个元素都能在 B 中找到它对应的像，并且只有一个。而 B 中不需要每个元素都能在 A 中找到对应的原像，并且可以在 A 中找到不止一个原像

有三个特殊的映射：

单射 - 在映射 A -> B 中，B 中的每个元素只能有一个原像
满射 - 在映射 A -> B 中，B 中的每个元素都能在 A 中找到原像，在这种关系中，A 叫做 B 的定义域或原像集，B 叫做 A 的值域或像集
一一映射 - 在映射 A-> B 中，即是单射，也是满射的关系，又叫双射

提示

映射也常常被说成是函数

在数学中，映射关系非常重要，因为映射可以通过确定的关系，把 2 个集合联系起来，在已知定义域和对应关系的情况下，可以推算出对应的值域，在已知值域和对应关系的情况下，可以倒推定义域

因此利用数学中的定理，将多个映射关系依次使用，形成映射链条就得到了严谨的推演链条，正是这种方法可以将复杂的条件变成简单的条件，把没见过的条件变成熟悉的条件，从而简化问题，得到答案

集合中的元素个数必须是有限的，确定的，这是计算的基础，集合 A 中的元素个数用符号 card(A) 表示，比如 A = {1, 2, 3}，则 card(A) = 3。对于 2 个元素的交集，并集个数满足关系：若 card(A) = a，card(B) = b，card(A ∩ B) = p，card(A ∪ B)，则 q = a + b -p

需要具备的基础代数

1 既不是质数也不是合数，其它的数要么是质数要么是合数
一个数的各数位上的数的和是 3 的倍数，意味着这个数可以被 3 整除

比可以呈现出两种不同东西的数量关系，比如 180 个苹果和 60 个香蕉的比是 180:60，化简比为 3:1，而比值是 3（前项除后项）。比值与计量单位也紧密相连，比如一天 24 小时。也与局部和整体关联，比如水果中有五分之二是苹果，可以看作 2:5

两个比值相等的式子可以构成比例，比如 2:3 = 4:6，在比例中，两外项积等于两内向的积，这是比例的基本性质。已知任何三项，根据这个性质就可以求出未知项

”=“一直是个被经常忽略的符号，它能将数学元素和表达式连接起来，才能将复杂的表达式转化为简单的，熟悉的，根据已知条件得到对应的答案。相等是一个非常朴素的概念，如果有两堆东西，它们的数量一样多，就称它们的数量相等，等式的性质：

两边同时加或减相同的整式，等式仍成立
两边同时乘或除同一个不为 0 的整式，等式仍成立
等式具有传递性，即 a1=a2，a2=a3，则 a1=a3

”不等“也是一个非常重要的关系，也是各种数学元素的桥梁，不等式就是用符号“>”，“<”表示大小关系，用“≠”表示不等关系，用“≥”或“≤”表示大于等于或小于等于的式子，使不等式成立的未知数的值是不等式的解，所有的解称为解集。不等式的解可以在数轴中用一个区间表示，在数轴中用空心表示 $<$ 或 $>$ ，实心表示 $\leq$ 或 $\geq$ 。不等式的性质：

不等式两边加（减）同一个数，不等号的方向不变
不等式两边同乘（除）同一个正数，不等号的方向不变
不等式两边同乘（除）同一个负数，不等号的方向改变
单向传递

可以使用作差法比较大小：

a - b > 0 推出 a > b
a - b = 0 推出 a = b
a - b < 0 推出 a < b

如果两个单项式它们所含的字母相同，且相同字母的指数也分别相同，这两个单项式就叫同类项。除此之外，所有的常数项都是同类项。同类项之间是可以合并的，系数相加，且字母的指数不变

把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做多项式的因式分解

找公因式
找相同字母
相同字母的最低指数

数学比语言更简洁，比如表示”比 x 多 3“时，就是 x + 3。对于一个方程，为了使等式成立，通常要求出未知数的值，这个值叫做方程的解。对于一个方程通常使用逆运算进行求解，加法和减法互为逆运算，乘法和除法互为逆运算。方程可以对一个问题进行建模，比如：中秋节安然买了月饼，她买了 x 个月饼，总共花费 42 元，每块月饼单价是 7 元，符合该问题的方程是：x * 7 = 42

恒等式

在定义域内任意数值处于 x 的位置上，都能使等式成立

同类项系数对应相等
合并后，各项系数等于 0

一元一次方程是未知数（元）只有一种，且未知数最高次数为 1 的方程，一般形式为：ax + b = c（a≠0）

一元二次方程是未知数只有一种，且未知数最高次数为 2 的方程，一般形式为：ax² + bx + c = 0（a≠0）

因式分解只有当方程是特定的整系数方程才好使，难以普遍使用。配方法适用于全部的一元二次方程，并能够由此推导出一元二次方程的通解公式，即根的判别式或韦达定理，即根和系数满足以下关系：

两个实数根 x₁，x₂ 相加得到 $-\frac{a}{b}$
两个实数根 x₁，x₂ 相乘得到 $\frac{c}{a}$

\text{等式两边同时除以 a}

x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0

\text{等式两边同时加上} (\frac{b}{2a})^2

x^2 + \frac{b}{a}x + (\frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a} = (\frac{b}{2a})^2

\text{配出完全平方}

(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{c}{a} = (\frac{b}{2a})^2

\text{移项}

(x + \frac{b}{2a})^2 = (\frac{b}{2a})^2 - \frac{c}{a}

\text{通分}

(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}

因为等式左边必大于等于 0，方程要有根，就必须保证 $\frac{b^2 - 4ac}{4a^2} \geq 0$ 。由于规定 $a \neq 0$ ，所以分母 $4a^2$ 必然大于 0，因此还需要分子大于等于 0，即 $b^2 - 4ac \geq 0$

当 Δ>0 时，化简式可变为： $x + \frac{b}{2a} = \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}$ ，此时方程有两个根

x_1=-\frac{b}{2a}+\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

x_2=-\frac{b}{2a}-\sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}}=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

当 Δ=0 时， $(x+\frac{b}{2a})^2=0$ ，有一个根： $x=-\frac{b}{2a}$

当 Δ<0 时时，方程无实数根

将两根相加或相乘就得到了韦达定理：

x_1 + x_2 = \frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} + \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-2b}{2a}=-\frac{b}{a}

x_1 \times x_2=\frac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a} \times \frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{(-b)^2-(\sqrt{b^2-4ac})^2}{4a^2}=\frac{c}{a}

二元一次方程两个未知数，但最高次数为 1 的方程，一般形式为： $ax + by = c \text{（}a≠0\text{，}b≠0\text{）}$

把相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组。即使某一个方程是一元一次，但只要另一个是二元一次方程，也是二元一次方程组。两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解。通常求解的时候，会列举某一个方程的解，然后带入另一个方程进行校验，以此求出公共解，但是这种方法算的太慢，二元一次方程组的解法反映出另一条非常重要的解题思路：联立

代入消元法：将其中一个方程带入到另一个方程中，变成一元一次方程
加减消元法：当两个式子中有相同系数的未知数时，即可相减进行消除变成一元一次方程
图像法：画出两条方程的直线，交点就是它们的解

二元一次方程组的三类解

对于 ax+by=c，dx+ey=f，方程组，根据对应系数关系可得三类解：

唯一解：a/d ≠ d/e
无数解：a/d = d/e = c/f
没有解：a/d = b/e ≠ c/f

根据不等关系也能列出不等式方程，一元一次不等式就是含有一个未知数，未知数的次数都是 1 的不等式。通过化简即可得解。一元二次不等式就是含有一个未知数，未知数的次数是 2 的不等式，可以通过因式分解和配方法来得解

一元一次不等式组中的解可能是”或“，也可能是”与“。当为”或“时只能满足一个不等式，当为”与“时公共部分可以满足两个不等式。一元一次不等式组中的解集的公共部分叫做它们的所组成的不等式组的解集

分母含有未知数的方程叫做分式方程，要将分式方程化为整式方程进行求解，方法是乘以最简公分母，划掉分母即可

需要具备的基础几何

两点的连线中，线段为最短
经过直线外的一点，有且只有一条直线与这条直线平行
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
两条直线都垂直同一条直线，两直线平行
同角的补角相等，同角的余角相等
同位角相等，两直线平行
内错角相等，两直线平行
同旁内角互补，两直线平行
由于周长与直径之比约等于 3.14，将这个定值称为 π
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半

多边形的内角和和外角和

S 边形的内角和：(S - 2) * 180°，外角和是 360°

当两个三角形满足一些条件时即可证明它们全等，有以下定律：

边边边（SSS）：当三条边对应相等时
边角边（SAS）：当两条边和它们的夹角对应相等时
角边角（ACA）：当两个角和它们的夹边对应相等时
角角边（AAS）：当两个角和其中一个角的对边对应相等时
斜边、直角边（HL）：当两个直角三角形的斜边和一条直角边对应相等时，两个直角三角形全等

相似三角形

三角分别相等，三边成比例关系的两个三角形

直角三角形中的各种关系：

勾股定理：直角三角形两直角边长度分别为 a，b，斜边长度为 c，则它们一定满足：a² + b² = c²。反之三角形的三边满足这个定律，这个三角形一定是直角三角形
两锐角关系：两锐角之和 = 90°
对于一个有 30° 和 60° 的直角三角形，它们三边长比例是： $1:\sqrt{3}:2$
对于一个有 45° 和 45° 的直角三角形，它们三边长比例是： $1:1:\sqrt{2}$

假设一个三角形角θ的对边，邻边和斜边长度分别是 a，b，c 那么有：

θ 的正弦是对边与斜边的比值 $\sin \theta = \frac{a}{c}$
θ 的余弦是邻边与斜边的比值 $\cos \theta = \frac{b}{c}$
θ 的正切是对边与邻边的比值 $\sin \theta = \frac{a}{b}$

$\theta$	$\angle30$	$\angle45$	$\angle60$
sin	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{{2}}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$
cos	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$
tan	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	${\sqrt{3}}$

注： $\tan \theta$ = $\sin\theta \div \cos\theta$ ， $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

在一个直角坐标系中，(x1, y1) 和 (x2, y2) 的距离满足公式： $\sqrt{(x2-x1)^2+(y2-y1)^2}$

双中点模型

已知线段 AB，C 为 AB 上的任意一点，取 M 为中点，N 为 BC 中点，则 $MN = \frac{AB}{2}$

双直角模型

$\angle 1$ = $\angle 2$

双角平分线模型

$\angle AOB$ 有两条角平分线，可得 $\angle MON$ = $\frac{\angle AOC + \angle COB}{2}$

需要具备的基础统计

考察全体对象的调查叫做全面调查（普查）。如果对象过多，会费时费力，只抽查全体对象中的一部分，然后根据调查数据推断全体对象的情况，叫做抽样调查。它的基本步骤是：

收集数据：设计调查问卷
整理数据：设计统计表
描述数据：画图，条形图，饼图

总体：全体对象
个体：组成全体对象的每一个考察对象
样本：被抽取的一些个体称为一个样本
样本容量：样本中的个体的数目

通常情况下，样本容量越大，精度会越高，但是会提升调查成本，因此样本容量要适当

总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，这种抽样方法是简单随机抽样

把所有的数加起来除以数的个数，即可求出平均数，平均数可用来总结一组数据，平均数是一组数据的中心值的度量。平均数与低于平均数的数据的距离之和等于它与高于平均数的数据之和，所以说平均数总是平衡点，比如 {2,3,6,9} 的平均数是 5，那么 |2-5| + |3-5| = |6-5| + |9-5| = 5

中位数通过一组排序得到的最中间的数，一半数字小于这个数，一半数字大于这个数，不受最大或最小两个极端数值的影响。当数据量为奇数个时取最中心的数，为偶数个时取最中心两个数求它们的平均数作为中位数

平均数和中位数都是为了体现一组数据的集中趋势，看情况使用

众数是一组数据中出现次数最多的数，可能没有，可能有多个

标准偏差体现了一个数据集的离散程度，一个数据集越分散，它的标准偏差就越大，数据点离平均值越远，标准偏差越大

在一定条件下：

必然会发生的事叫必然事件
必然不会发生的事叫不可能事件
可能会发生，也可能不会发生的事件叫不确定事件或随机事件

一般地，随机事件 A 发生的可能性是有大小的，把刻画其发生可能性大小的数值，称为随机事件 A 发生的概率，记作：P(A)。概率的计算方法：在一次实验中，有 n 种可能的结果，它们发生的可能性都相等，事件 A 包含其中的 m 种结果，那么事件 A 的发生概率： $P(A)\frac{m}{n}$

一般地，在大量的重复实验中，如果事件 A 发生的频率 $\frac{m}{n}$ 稳定在某个常数 p 附近，那么这个常数 p 就叫做事件 A 的概率，记作 P(A) = p

常用的统计图：

复式统计表更能直观的反映数据的情况

喜好/性别	男同学	女同学
喜欢猫	36	22
喜欢狗	8	26
没有偏向	2	6

条形统计图通过条形的长短更直观的表示数量的多少
折线统计图能够直观的反应变化的趋势
扇形统计图能够直观的反应所占比例
直方图
点阵图
频率分布表

指数

指数运算和对数运算是新的运算，指数运算与乘法有直接的关系，对数运算是指数运算的逆运算，根据指数运算的性质和规律可以推导出对数运算的性质和规律

指数运算也叫幂运算，“幂”是盖东西的布巾，比如 a^m 看起来就像给数字盖上了头巾，念作“a 的 m 次幂”或“a 的 m 次方”，其中 a 是底数，m 是指数

当指数为正时，满足下面的运算：

乘法： a^m * aⁿ = a^m+n
除法： a^m / aⁿ = a^m-n
幂：(a^m)ⁿ = a^mn
积：(ab)^m = a^mb^m
分数： $(\frac{a}{b})^m$ = $\frac{a^m}{b^m}$

当指数为负：a^-n = $\frac{1}{a^n}$

当指数为分数： $a^\frac{m}{n} = \sqrt[n]{a^m}$ （a > 0, m, n ∈ N*, 且 n > 1），a^m 表示 a 的分子次幂，再开分母次方根

提示

指数为零的都等于 1，0 的任何次幂都是 0

a 的 m 次方根记作 ${\sqrt[m]{a}}$ ，表示为 m 个相同的数字相乘结果为 a，即 2³ = 8， $\sqrt[3]{8}$ = 2

求一个数的平方根的运算，叫做开平方，这个数叫做被开方数。一个数的平方根是一个可以与自己相乘得到原数的数字，平方运算和开平方运算互为逆运算。如果一个数的平方根是一个整数，这个数被称为完全平方

一个正数的平方等于 a，那么这个正数叫做 a 的算术平方根。算术平方根是平方根的一种，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个。比如 4² = 16，4 就是 16 的算术平方根，也可以说 16 的算术平方根为 $\sqrt{16}$ ，读作“根号 16”。被开方数必须大于等于 0

正数 a 的算术平方根表示 $\sqrt{a}$ ，而正数 a 平方根表示 $\pm\sqrt{a}$ 。比如 $x ^ {2} = 9$ ，9 的平方根为 3 或 -3，算术平方根为 3。a 是被被开方数

一个数的立方等于 a，这个数就叫做 a 的立方根，记作 $\sqrt[3]{a}$ ，3 是根指数，不能省略

平方根和立方根的性质：

负数没有平方根
0 平方根是 0，0 立方根也是 0

用来表示一个非负数的算术平方根的式子，叫做二次根式。 $\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}$ ，前提是 a 和 b 都大于等于 0。根式一定要化成最简根式：

被开方数不含分母，且分母中不含二次根式
被开方数不含能开的尽的因数或因式

对数

若 a^m = P，则 log_ap = m（a > 0 且 a ≠ 1），其中 a 是底数，m 是指数，p 叫做”a 的 m 次幂“，即 p 叫做真数。其中 m 在指数运算中叫做指数，而在对数运算中叫做对数，所以 log_ap 念作”以 a 为底 P 的对数“

在对数运算中，有两个底数非常特殊，一个是 10，一个是自然对数的底 e。当底数为 10 时，以 10 为底的对数可以直接写为 lgP，比如 lg1000 = 3。当底数为 e 时，以 e 为底的对数写为 lnP，e ≈ 2.71828

运算规律：

$a^{\log{a}{M}} = M$
$\log{a}{(a^m)}$ = m
$\log{a}{M} + \log{a}{N} = \log{a}{M * N}$
$\log{a}{M^n} = n\log{a}{M}$
$\log{a}{M} = \frac{\log{c}{M}}{\log{c}{a}}$

函数

函数是用来描述变化关系的，函数是接受一个输入值，处理后输出一个值，比如 y = x + 1 就是一个函数，y = f(x) = x + 1，其中 x 是函数的自变量，处理过程是 x + 1，y 会随着 x 的变化而变化，在一个变化过程中：

数值发生变化的量叫做变量，在某一个变化中主动变化的量就是自变量，因为自变量而改变的量就是因变量
数值始终不变的量叫做常量或常数

函数和集合

函数实质上是两个集合之间的特殊映射关系，对于一个集合 A 和集合 B，以及对应法则 f：若 A 中的每个元素 a_i 在法则 f 的作用下，都能在 B 中找到唯一一个确定的元素 b_i 与之对应，那么就称 f：A->B 是从集合 A 到集合 B 的一个函数。因此函数的定义有以下要点：

基本构成要素：集合 A，集合 B，对应法则 f
A 中的每个元素在 f 的作用下，只能对应到 B 中的唯一的元素，不能是多个，因此函数是一个映射
A 中的元素可能有多个对应到 B 中的同一个元素，所以函数可以是单射，也可以不是单射
B 中的每个元素都必须有 A 中的元素与之对应，即函数一定是满射

在满射中，A 也叫做定义域或 B 的原像集，B 也叫做值域或 A 的像集，这种叫法也适用函数。当对应法则 f、定义域 A、值域 {f(x) | x ∈ A} 完全相同时，两个函数才能称为同一函数，只要定义域和对应法则一样即可

函数一般表示为“y=f(x)=关于 x 的表达式”，x 是定义域中的某个元素，y 是 x 所对应值域的元素。f 表示函数关系，比如定义域中的元素 a 对应值域中的 b，则记为 f(a)=b，b也叫做 a 的函数值。通常来说会省略 y，本质上和“f(x)=关于 x 的表达式”没什么区别，y 和 f(x) 都可以表示 x 所对应的函数值

图像

函数图像是能够直观地描绘函数性质的图形，对于定义域和值域都是数集的函数，可以用平面直角坐标系来描绘。数轴上的点可以用一个数表示这个点在数轴上的坐标，但只能表示一个方向的坐标，如果想要确定在平面上的位置，就必须用到平面直角坐标系，将一个横轴和纵轴垂直相交一个点，就称这个为平面直角坐标系，它满足：

两条数轴
互相垂直
公共原点
只有一个原点（0, 0）

平面直角坐标系被横轴和纵轴分成了四个区域，也叫象限，四个象限的坐标也有不一样的特点：

第一象限：x 正，y 正
第二象限：x 负，y 正
第三象限：x 负，y 负
第四象限：x 正，y 负

对于函数 y=f(x)，定义域中的全部 x 值与其对应的值域中的 y 值构成数对 (x, y)，因此在平面直角坐标系中标记出来的，所构成的全部点的集合叫做函数图像

每一个特定的函数都有唯一确定的图像，但每一种图像可能来自不同的函数，这是因为函数图像只能反映自变量和函数值的对应结果，不能反应对应规则

函数是无穷多的，但对于研究的比较透彻的基本函数，它们的形状是已知的，比如一次函数是直线，二次函数是抛物线，只要确定几个关键的点就能描绘出大致图形

图像变换

函数的基本变换方式主要有：平移，伸缩，旋转

平移：不改变函数的性质，将图像向某个方向平移
伸缩：不改变函数的性质，将图像”拉长“或”压扁“
旋转：不改变函数的性质，沿着某个点旋转

性质

函数的基本性质：

单调性
奇偶性
周期性

函数的单调性是描述函数值呈增加还是减少趋势的性质，当函数 f(x) 的自变量在其定义区间内增大（或减小）时，函数值 f(x) 也随着增大（或减小），则称该函数为在该区间上具有单调性，y 随 x 增加而增加的是增函数，y 随 x 增加而减少的是减函数。在函数的某一段连续区间，若“y 随 x 增加而增加”，则这段区间叫做增区间，否则是减区间。对于一次函数，当 k>0 时是递增的，反之是递减的。对于二次函数，在顶点两侧具有相反的单调性，当 a>0，顶点左侧递减，右侧递增。当 a<0，定点左侧递增，右侧递减

函数的最大值和最小值有可能在区间的端点取得, 如果最大值不在区间的端点取得, 则必在开区间内取得。在这种情况下, 最大值一定是函数的极大值。因此, 函数在闭区间上的最大值一定是函数的所有极大值和函数在区间端点的函数值中最大者

对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x，都有 f(-x) = f(x)，那么函数 f(x) 就叫偶函数。偶函数的图像特点是 y 轴对称，一次系数为 0 的二次函数为偶函数。对于函数 f(x) 的定义域内任意一个 x，都有 f(-x)=-f(x)，那么函数 f(x) 就叫奇函数。奇函数的图像特点是以原点为对称中心，常数项为 0 的一次函数是奇函数

函数值呈重复性变化的是周期函数，比如分针是以 60 为周期的周期函数。普通的一次函数和二次函数都不是周期函数，三角函数是周期函数。对于一个周期函数 y=f(x)，若从 x=a 开始到x=a+T 是它的最小重复性单元，则 T 叫做该函数的最小正周期。若一个函数的最小正周期是 T，则 T 是任意整数倍 nT（n∈Z 且 n≠0）都是该函数的周期，一般只研究最小正周期

函数也具有加减乘除等表达式运算，函数运算后，函数的对应关系发生改变，通常会导致函数的性质发生改变。对于函数 y=f(x) 和常数 a（a≠0），它们进行加减乘除后分别得到新的函数：

y+a=f(x)+a
y-a=f(x)-a
y*a=f(x)*a
y/a=f(x)/ a

偶函数加减一个数字后还是偶函数，奇函数加减一个数字后不再是奇函数。单调递增或递减函数加减一个数字仍然是单调递增或递减函数。周期函数加减一个数字后，仍然是周期函数，并且最小正周期不变

两个函数除了计算以外，还能形成复合函数：对于函数 f(x)，g(x)，把 g(x) 的值域作为 f(x) 的定义域得到新的函数叫做他们的复合函数，记作f(g(x))。复合函数实际上是进行了两步函关系的对应，原函数

反函数

用一个函数的因变量表达自变量的函数叫做原函数的反函数，区分反函数将原函数 f(x) 写成 f^-1(x)

性质：

反函数的定义域是原函数的值域
不是所有的函数都具有反函数，只有满足一一映射额函数才有反函数
互为反函数的函数关于 y = x 镜面对称。即原函数的点 (x, y)，都在反函数的(y, x)上，反之亦然

幂函数

以底数为自变量的函数叫做幂函数，一次函数和二次函数都是幂函数，基本形式为：f(x) = x^a（a 是常数）

所有的幂函数在 $(0, +∞)$ 都有定义，并且图像都经过点 $(1, 1)$
当 a > 0 时，幂函数的图像都经过原点，并且在 $[0, +∞)$ 上是增函数
当 a < 0 时，幂函数在区间 $(0, +∞)$ 上是减函数
当 a 为奇数时，幂函数为奇函数，为偶数时，幂函数为偶函数

一次函数（斜截式） ——— $y = kx+b$ （k，b 是常数，k≠0）通过变换二元一次方程得到。b 和 k 都有含义，b 是直线在 y 轴上的截距。而 k 则代表直线的斜率，斜率是用来测量一条直线倾斜的程度，斜率 = 纵向的变化/横向的变化，只需要两个点就可以求出斜率，水平线的斜率总是 0。对于 y = kx + b，只需要一个确定的点，每个数加上斜率即可知道第二个点并画出直线。当知道截距和斜率时，可以很快地画出一条直线，因为截距已经确定一个在 Y 轴的一个点，在根据斜率即可求出第二个点画出直线，反过来通过图像可以很快的写出斜截式方程

当 y = 0 时，解得 $x = - \frac{b}{k}$ ，此时该点的坐标为 $(-\frac{b}{k}, 0)$ ， $-\frac{b}{k}$ 是距离原点的距离。当 x = 0 时，解得 $y = b$ ，此时该点的坐标为 $(0, b)$ ，b 是距离原点的距离。只要得出该两点，就可以根据两点直线距离来画出一次函数的图像了

在平面直角坐标系图像中常常可以在方程中找出比例系数

正比例：如论如何变化，两个量的比值一定，y/x = k
反比例：如论如何变化，两个量的乘积一定，xy = k

正比例函数 $y = kx$ （k 是常数，k≠0）也是一个一次函数

反比例函数 $y=\frac{k}{x}$ （k 是常数，k≠0）也是一个一次函数

二次函数一般形式为： $y=a(x+m)^2 + bx + c$ （a，b，c 都是常数，a≠0）,有以下特点：

二次函数的图像都是抛物线，至少需要 5 个点才能描述
a > 0 开口向上，a < 0 开口向下， $|a|$ 越大开口越大
b 是抛物线对称轴，可直接用 $-\frac{b}{2a}$ 求出，当与 a 同号在 x 轴左边，异号在 x 轴右边
c 是抛物线与 y 轴的截距，正向上，负向下，为图像的最大值或最小值

二次函数顶点形式式为： $y=a(x-h)^2 + k$ （a，h，k 都是常数，a≠0）,有以下特点：

(h, k) 是图像的顶点

提示

对称轴与抛物线的焦点叫做抛物线的顶点，顶点是抛物线的最低点或最高点

指数函数

底数不变，以指数为自变量的函数叫做指数函数，基本形式为：f(x) = a^x（a > 0, a ≠ 1，a^x 的系数必须是 1）。当 a > 1 时，指数函数时递增的，当 0 < a < 1 时，是递减的

对数函数

底数不变，以真数为自变量的函数叫做对数函数，基本形式为：f(x) =log_ax

三角函数

三角函数是关于边长与角度的函数，当一个直角三角形有一个锐角为 30° 时，则三边的比例满足：1（对边）: 2（斜边）: $\sqrt{3}$ （邻边），无论三角形的大小是否变化

三角函数的自变量为弧度，与角度基本一致，三角函数主要包括正弦函数，余弦函数，正切函数，余切函数，正割函数，余割函数

正弦 sin30° - 对边与斜边的比是 $\frac{1}{2}$
余弦 cos30° - 邻边与斜边的比是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$
正切 tan30° - 对边与邻边的比是 $\frac{1}{\sqrt{3}}$

当一个直角三角形有一个锐角为 45° 时，则三边的比例满足：1 : 1 : $\sqrt{2}$ （斜边）

正弦 sin45° - 对边与斜边的比是 $\frac{1}{\sqrt{2}}$
余弦 cos45° - 邻边与斜边的比是 $\frac{1}{\sqrt{2}}$
正切 tan45° - 对边与邻边的比是 1

三角恒等变换

平面向量

复数

直线和圆的方程

圆锥曲线的方程

数列

自然数列 1，2，3，4，...是无止尽的，在任何自然数 n 后，都可以写出下一个自然数 n + 1

数列就是按照一定次序排列的一列数：1，2，3，4，5...。每一个数都是数列的项，第一项是首项，第 n 项用 a_n 表示，根据项数可分为有穷和无穷数列

递增数列
递减数列
常数列
摆动数列

一般来说根据数列信息可以写出通项公式的，知道了通项公式可以求出任意项，所以通项公式代表了数列的全部信息。但是有的通项公式写不出，有的通项公式不唯一

通常使用差分法来找出数列之间的规律

提示

排列组合与二项式定理

概率论基础

统计学基础

随机变量及其分布

成对数据的统计分析

空间直线与平面

空间向量

简单几何体

导数

线性规划

极坐标方程

应用

试题

一周中的每一天:

如果说第一天是星期一，那么第 300 天是星期几呢，很简单，300/7 的商是 42，余是 6，所以是第 42 个星期的星期六

和差问题：

(n 个数之和 + n 个数之差) / n = 较大的数
(n 个数之和 - n 个数之差) / n = 较小的数

例题 1

两筐水果共重 150 千克，第一筐比第二筐少 10 千克,两筐水果各多少千克?

解法一：第一框是 (150 - 10) / 2 = 70 千克，第二框是 70 + 10 = 80 千克

解法一：第二框是 (150 + 10) / 2 = 80 千克，第二框是 80 - 10 = 70 千克

例题 2

甲、乙两校共有学生 1050 人，部分学生因搬家需要转学，已知由甲校转入乙校 20 人，这样甲校比乙校还多 10 人，求两校原来有学生多少人?

解析：由甲转入 20 人到乙还多 10 人可得甲原来比已多 50 人，否则就不成立了

和倍问题：

和 / (倍数 + 1) = 较小的数

差倍问题：

差 / (倍数 - 1) = 较小的数

周期问题：

总数 / 周期数 = 组数，整除时，为周期中最后一个
总数 / 周期数 = 组数...余数，有余数时，余几表示周期数中的第几个

经过的天数（年数）

经过的天数（年数）= 结尾数 - 开始数 + 1

植树问题：

两端都种：间隔数 + 1 = 棵数
两端都不种：间隔数 - 1 = 棵数
只种一端：间隔数 = 棵树
封闭图形（化曲为直=只中一端）：间隔数 = 棵树
锯木头（两端都不种）：间隔数 - 1 = 棵数

例题 1

一项工程，甲队单独做需要 10 天完成，乙队单独做需要 15 天完成，现在两队合作，需要几天完成?

解析：总量一定，求出甲和已的效率即可：1 / (1/10 + 1/15) = 6 天

例题 2

一批零件，甲独做 6 小时完成，乙独做 8 小时完成。现在两人一起做，完成任务时甲比乙多做 24 个，求这批零件共有多少个？

解析：总量一定，求出甲和已的完成时间：1 / (1/6 + 1/8) = 24/7，经过 24/7 小时后甲比乙多做的 24 个的占总数的 (1/6 - 1/8) * 24/7 = 1/7

例题 1

王芳和肖莉同时从甲、乙两地相对而行，王芳每分钟走 56 米,肖莉每分钟走 54 米，5 分钟后两人相遇。两地相距多少米?

解析：已知两人速度和和相遇时间，所以两地相距：5 * (56 + 54)

比例问题：

例题 1

小明和小方各走一段路,小明走的路程比小方多女,小方用的时间比小明多责.小明和小方的速度之比是多少?

容斥问题：

A，B 的总数 = (A + B) - (A, B 重叠部分)
A，B，C 的总数 = (A + B + C) - (A, B 重叠部分 - B, C 重叠部分 - C, A 重叠部分) + A，B，C 的重叠部分

最优化问题：在有限资源中进行有效分配和控制，达到某种意义上的最优

实践应用

数量关系

行程问题：速度 * 时间 = 路程
- 总路程（同时出发） = 甲路程 + 乙路程
- 总路程（不同时出发）= 先走的路程 + 甲路程 + 乙路程
- 追及距离 = 速度差 * 追及时间
- 相遇路程 = 速度和 * 相遇时间
- 船的顺水速度 = 船速 + 水速
- 船的逆水速度 = 船速 - 水速
- 船速 = (船的顺水速度 + 船的逆水速度) / 2
- 水速 = (船的顺水速度 - 船的逆水速度) / 2
- 火车过桥：过桥时间 = (车长 + 桥长) / 车速
- 车头相遇到车尾离开的时间 = 两车长之和（路程） / 两车速度和
工程问题：时间 * 效率 = 总量
经济问题：售价 * 销售量 = 销售额
- 利润 = 售价 - 进价
- 利润 = 进价 * 利润率
- 售价 = 标价 * 打折数
利率问题：
- 利息 = 本金 * 利率 * 存期
- 本金和利息和 = 本金 + 本金 * 利率 * 存期

公式

平方差：(a + b)(a - b) = a² - b²
完全平方公式：(a ± b)² = a² ± 2ab + b²
三数和平方公式：(a + b + c)² = a² + b² + c² + 2ab + 2bc + 2ca
立方和：a³ + a³ = (a + b)(a² - ab + b²)
立方差：a³ - a³ = (a - b)(a² + ab + b²)
完全立方公式：(a ± b)³ = a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³

几何图形面积公式：

长方形：长 * 宽
正方形：边长 * 边长（特殊的长方形）
平行四边形：底 * 高（变成矩形）
菱形：底 * 高（特殊的平行四边形）
梯形：上底加下底 * 高 / 2（变换成平行四边形）
三角形：底 * 高 / 2（变成矩形）
长方体：2 * (长 * 宽 + 宽 * 高 + 长 * 高)
正方体：棱长 * 棱长 * 6

几何图形体积公式：

长方体：长 * 宽 * 高
正方体：长 * 宽 * 高

有关于圆的公式：

圆的周长：直径 * π
圆的面积：半径的平方 * π
圆柱表面积：两个圆面积 + 侧面积（矩形）
圆柱体积：底面积 * 高
圆锥表面积：底面积 + π * 母线l * r（扇形：求出母线）
圆锥体积：底面积 * $\frac{1}{3}$

量

质量单位：1吨=1000千克=1000000克，1千克（公斤）=2斤，1斤=500克
时间单位：1年=12月，1天=24时，1分=60秒
长度单位：1千米=1000米，1分米=1000厘米，毫米，微米，纳米
面积单位：1平方千米=100公顷，1公顷=10000平方米，1平方厘米=100平方毫米
体积单位：1立方米=1000立方分米
容积单位：1公升=1000毫升，1公升=1立方米，1毫升=1立法厘米
货币单位：1元=10角，1角=10分

图形计算器 - desmos

术语

因数：可以把一个数整除的数称为该数的因数，除数和商都是被除数的因数
质数（素数）：只有 1 和它本身的两个因数
合数：有两个以上的因数
倍数：一个整数和另一个整数相乘时得到的结果
完全数：
公因数（公约数）：一个数同时是几个整数的因数，所以有最大公因数
公倍数：一个数是同时是几个整数的倍数，所以有最小公倍数
倒数：乘积为 1 的两个数互为倒数，一个数除以另一个数相当于乘以这个数的倒数
平方是指数为 2 的数，立方是指数为 3 的数
相反数：一个数在数轴属于原点对称数，只有符号不同，0 的相反数是 0
绝对值：一个数的绝对值是从 0 到这个数的距离，0 的绝对值是本身，记作|a|
近似数：与实际非常接近的数，现实中用的更多
准确数：与实际完全符合的数
方程：含有未知数的式子
代数：用字母表示未知数的数
常数：公式中的不变量。π 就是一个数学常数
有理式：整式和分式，单项式和多项式统称为整式
单项式：都是数或字母的积的代数式，或单独一个数或字母也叫单项式，单项式前面的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数
多项式：几个单项式的和，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项，次数最高的项的是多项式的次数
圆心：平面中到一个点的距离为定值的所有点的集合，这个给定的点
直线：直线没有端点，长度无限，过一点可以画无数条直线，过两点只能画一条直线
射线：只有一个端点，长度无限
线段：有两个端点，它是直线的一部分，长度有限
相交：如果两条直线只有一个公共点，该公共点叫做两条直线的交点
垂直：两条直线相交成直角时，这两条直线叫做互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，相交的点叫做垂足
平行线：在同一平面内，不相交的两条直线
角：由两条公共端点的射线组成的几何对象
角平分线：能把一个角分成两个相等的角的射线
补角：两角和等于 180°
余角：两角和等于 90°
同位角：两角在截线的同侧，两角在被截线的同一方向
内错角：两角在截线两侧，两角在被截线之间
同旁内角：两角在截线同侧，两角在被截线之间
邻补角：有一条公共边，角的另一边互为反向延长线
对顶角：顶点相同，角的两边互为反向延长线
半径：定值的距离叫做
周：任意距离圆心的定值距离的点绕圆心环绕一周的轨迹
弦：连接圆周上的任意两点的线段
直径：经过圆心的弦，是半径的两倍
圆弧：圆周上任意两点之间的部分，小于半圆的弧叫做劣弧，大于半圆的弧叫做优弧，一半为半圆
同心圆：圆心一样的圆，能够重合的园叫做等园，在同一个圆中或等圆中，能够互相重合叫做等弧
圆周角：顶点在圆上，并且角两边都与圆相交形成的角，定点在圆心上的角叫圆心角
相交：直线和圆有两个公共点时，这个线叫做圆的割线
相切：直线和圆有唯一一个公共点时，叫做直线和圆相切，这个线叫做圆的切线，唯一的公共点叫切点
相离：直线和圆没有公共点
平移：一个图形沿着某一个直线方向移动得到新的图形与原图形状和大小完全相同，新图形中的每一点，都是原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等
轴对称：一个图像沿着一条直线折叠，直线两边的图形能够互相重合，这条直线就是图形的对称轴
旋转：
反射：
缩放：
有序数对：把有顺序的两个数 a 和 b 组成的数，叫做有序数对，记作(a, b)，通常用于定位

参考资料

数学与生活
怎样解题